第一次开讨论，各位同仁多包涵🤝

资料摘自G.H.Hardy&E.M.Wright,An Introduction to the theroy of Numbers,6th ed.,Oxford,1938

1 素数

数$$\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,\cdots$$称为整数。

数$$0,1,2,\cdots$$称为非负整数。

数$$1,2,3,\cdots$$称为正整数。

假设存在第三个整数$c$使得$a=bc$，则称一个整数$a$能被另一个整数$b(b\ne0)$整除，记作$$b\lvert a$$即$b$是a的一个因子，显然有$$1\lvert a，a\lvert a$$成立，且任意$b(b\ne0)$均有$b\lvert 0$。

用$$b\nmid a$$表示与$b\lvert a$相反的意义，易知$$b\lvert a，c\lvert b\rightarrow bc\lvert ac (c\ne0)$$，以及$$c\lvert a，c\lvert b\rightarrow c\lvert (ma+nb)$$$(c\ne0)$$(m,n\in Z)$$。

如果$p\gt1$,且除$q=1,p$之外，不存在$q\in Z$，使$q\lvert p$成立，则称$p$是素数，否则为合数。

$n$的标准型:$\prod\limits_{i=1}^np_{i}^{a_{i}}$ $(a_{i}\gt0,p_{i}<p_{i+1})$

定理 算术基本定理 $n$的标准型是唯一的。

定理 Euclid第一定理 如果$p$是素数，且$p|ab$，那么$p|a$或$p|b$。

定理 Euclid第二定理 素数无限。

定理 素数定理 $\pi(x)\thicksim\frac{x}{\ln x}$。

定理 Tchebychef定理 $\pi(x)\asymp\frac{x}{\ln x}$。

定理 素数定理的等价定理 $p_{n}\thicksim n\ln n$。

定理 Tchebychef定理的等价定理 $p_{n}\asymp n\ln n$。

公式 Littlewood对$\pi(x)$的近似 $\pi(x)\thickapprox Li(x)$。 其中$ Li(x)=\displaystyle \int_2^x \frac{\mathrm{d} t}{\ln x}$是“对数积分”。

定理* Dirichlet定理 若正数$a$和$b$互素，那么就有无穷多个形如$an+b$的素数存在。

To Be Continued...