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$O(n^3)$ 的动态规划，dp[i][j][0/1] 表示当前看到第 $i$ 个位置，已经选了 $j$ 个字母 A，上一个是字母 $A/B$。转移的时候要枚举上一个位置 $k$，然后将 $k \sim i$ 这一段全部弄成 A 或者 B。所以 $dp$ 是 $n^3$ 的。

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首先对三条规则进行简单分析

1. 对于规则 3 来说，假设 $c=3$，那么如果想要通过 AB 切换来获得价值，那字符串就应该形如 BBBABBBABBBA 这样，即每 3 个 B 就切换成 A。
2. 对于规则 1.2 来说，把字母放在连续的一段地方，第一次产生价值需要 $a+1$ 个 A 或者 $b+1$ 个 B，第二次及以后产生价值只需要 $a$ 个 A 或者 $b$ 个 B

我们可以枚举 A 和 B 切换了多少次，假定我们切换的方式就是 BBBABBBABBBA，即每一段 A 的长度都为 1，我们又知道 AB 的切换次数，就可以知道现在已经用掉了几个 A，然后我们先考虑把 A 全部用完。

1. 在 BBBABBBA 的形式前面 只需要花费一个 A 就可以拿到一个价值
2. 然后将多余的 A 填充进字符串中，因为每一段 A 的长度都是 1，所以此时本质上是每多 $a$ 个 A，答案 +1。

然后再考虑将剩余的 B 用完。

1. 如果倒数第二个位置是 A 的话，那么最后一个只需要花费一个 B 就能拿到一个价值
2. 例如 $b=4,c=3$，本来我们填充的是 BBBABBBABBBA，根据规则 2，当一段 B 的长度达到 5 的时候又可以使得价值 +1，所以我们尽量将每一段 B 都填充到长度为 5。如果全部填充好了且还有多余的 B，那么每多 $b$ 个 B，答案 +1。